La somme des n premiers entiers

Pendant que personne ne lit, je vais aller braconner un peu sur les terres mathématiques. Plus jeune (je suis toujours jeune, mais moins) j’ai eu du mal à mémoriser la formule pour la somme des n premiers entiers: 1+2+3+…+n. Marqué au fer rouge, je me rappelle que cette somme vaut n(n+1)/2, et qu’elle se démontre par récurrence. Le problème de la démonstration par récurrence, c’est qu’il faut déjà savoir ce que l’on cherche. Comment je fais, moi, si j’oublie la formule magique, et si un complot me renvoie sur les bancs de l’école? Heureusement, j’ai découvert une solution très simple dans « la formule préférée du professeur » 1, un roman japonais mettant en scène une jeune femme et son fils qui partent à la découverte des mathématiques avec un vieux professeur privé de mémoire à long terme (un ressort classique dans les films comme dans les romans).

Imaginons une pile d’oranges, ou plutôt de goyaves: une tout en haut, deux en dessous, puis trois, puis quatre… Si la pile fait n étages, le nombre de fruits qu’elle contient est la somme des n premiers entiers. Je représente ci-dessous quatre étages de goyaves (en rouge), ce qui nous fait 1+2+3+4=10 fruits. A partir de cette représentation, comment déduire la formule qui donne le nombre de goyaves en fonction du nombre de rangées (n)?

L’astuce, c’est d’imaginer les goyaves qui manquent pour dessiner un carré (ici en rouge pâle). Ce carré, qui a pour côté n (goyaves), a donc pour aire n² (goyaves carrées). Si on le coupe en deux par la diagonale (trait noir), on obtient un triangle qui contient n²/2 goyaves, mais il nous manque la moitié des goyaves de la pile du bas qui font pourtant partie de la somme recherchée. On rajoute donc n/2 pour obtenir le nombre de goyaves de la pile, pardon, la somme des n premiers entiers, qui fait bien n²/2 + n/2 = (n²+n)/2 = n(n+1)/2.

Notes:

  1. attention spoiler : même un ignare en maths de mon espèce avait deviné que la « formule préférée du professeur » était la formule d’Euler, e + 1 = 0
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Une réponse à La somme des n premiers entiers

  1. Fabien dit :

    C’est une version graphique de la démonstration qu’on fait en terminale, qui est facile à retenir aussi!

    Le principe est d’écrire la somme dans « les 2 sens :

    1+2 +…+(n-1)+n =S
    n+(n-1)+ 2+ 1 = S

    Si on additionne dans l’ordre:
    (1+n)+(2+n-1)+…+(n-1+2)+(n+1)=2S
    n*(n+1)=2S
    S=n*(n+1)/2

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